【描述】
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。
【输入格式 Input Format】
输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
【输出格式 Output Format】
输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
【算法描述】
转某牛人的解题报告！！！！
这道题在没看数据规模之前以为是一道简单的DP，但是数据开到十亿，无论在时间还是空间复杂度都过大，所以就要进行优化了。
解一：
简单方法：预期得分30。简单动态规划，f[i]代表青蛙跳到i点时所可能踩到的最少石子数，所以有f[i]=min{f[k]+map[i]}(i-s≤k≤i-t)，其中map[i]代表i上是否有石子，有是1，否则0。算法复杂度O(n^2)。
解二：
改进方法：预期得分100。我们会发现，虽然桥很长，但上面最多只有100个石子，想到能否用石子DP，而应该是不行的。那能否基于第一种方法？由于石子排布非常的疏，我们还会发现，如果两个石子相隔甚远，那他们中间的f[i]大部分将会是同一个数，能否把两个石子的距离缩短，使之还与原来等效？要是行的话怎么缩？王乃岩同学考试时做了一个方法能够过全部数据，用的滚动数组存储，下面列出了他的程序。我自己也写了个程序，和他不尽相同：我令L=stone[i]-stone[i-1]（stone[i]代表按坐标由小到大顺序排列的石块坐标），当L能够被t整除时（L%t==0），令k=t；当L不能被t整除时（L%t!=0），令k=L%t。然后令k为k+t，最后判断如果k>L，那么map[]数组中stone[i]和stone[i-1]两石头的距离就被等效成为L（也就是没变）；如果k<=L，那么map[]数组中stone[i]和stone[i-1]两石头的距离就被等效成为k，可以看出来，这样处理完，两石子最大间距为2*t，大大的缩短了数组，再按解一进行DP，就可以通过了。
【代码】
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 | #include <stdio.h> #include <string.h> long stone[101]; int map[100001]; int f[100001]; long L; int S, T, M; void quickSort(int l, int r) { int i , j; long temp; i = l; j = r; temp = stone[i]; while (i < j) { while (i < j && stone[j] > temp) j--; if (i < j) { stone[i] = stone[j]; i++; } while (i < j && stone[i] < temp) i++; if (i < j) { stone[j] = stone[i]; j--; } } stone[i] = temp; if (i - 1 > l) quickSort(l, i - 1); if (i + 1 < r) quickSort(i + 1, r); } int main() { int i, j; long l, k, p = 0, min; scanf("%ld%d%d%d", &L, &S, &T, &M); for (i = 1; i <= M; i++) scanf("%ld", &stone[i]); memset(map, 0, sizeof(int)*100001); memset(f, 0, sizeof(int)*100001); quickSort(1, M); stone[0] = 0; p = 0; for (i = 1; i <= M; i++) { l = stone[i] - stone[i - 1]; if (l % T == 0) k = T; else k = l % T; k = k + T; if (l < k) k = l; p = p + k; map[p] = 1; } for (i = 1; i <= p + T; i++) { min = 1000; for (j = i - T; j <= i - S; j++) if ( j >= 0 && f[j] < min) min = f[j]; f[i] = min + map[i]; } min = 1000; for (i = p + 1; i <= p + T; i++) if (f[i] < min) min = f[i]; printf("%d\n", min); return 0; } |